Μαθηματικοί Γρίφοι

[Χουργιατς]

e^x + e^(-x) = 2συν(χ^2/2)

x=0 μοναδική λόγω της μονοτονίας και της αξονικής συμμετρίας του υπερβολικού συνημιτόνου για χ>=0

[hellegennes]

Αυτό είναι μόνο το ένα σκέλος της ερώτησης. Το άλλο εξηγεί πώς το βρήκες (πέρα από την βοήθεια του κυριούλη).

[Ιδεολόγος]

Ρωτάς κάποιον απ' όλους "Αν σε ρωτούσα: Είναι εκείνος (δείχνεις έναν από τους άλλους δύο) ο θεός της τυχαιότητας, θα μου έλεγες πόνκυ;"

[hellegennes]

Ρωτάς κάποιον απ' όλους "Αν σε ρωτούσα: Είναι εκείνος (δείχνεις έναν από τους άλλους δύο) ο θεός της τυχαιότητας, θα μου έλεγες πόνκυ;"

Έστω ότι πόνκυ = ναι. Πώς θα ξέρεις από την απάντηση αν έχεις πέσει στον θεό της τυχαιότητας ή όχι;

[Χουργιατς]

Αυτό είναι μόνο το ένα σκέλος της ερώτησης. Το άλλο εξηγεί πώς το βρήκες (πέρα από την βοήθεια του κυριούλη).

Τρίγωνο και προσέγγιση tan(x)≈x λόγω μικρής γωνίας.

[Χουργιατς]

Είσαστε σε ένα νησί με ένα ηφαίστειο και σ' αυτό το νησί υπάρχουν τρεις θεοί.
Ο ένας είναι ο θεός της αλήθειας και ότι τον ρωτάς λέει αλήθεια, ο άλλος είναι ο θεός του ψεύδους και ότι τον ρωτάς λέει ψέμματα και ο άλλος είναι ο θεός της τυχαιότητας και ότι τον ρωτάς λέει ή αλήθεια ή ψέμματα ανάλογα πως θα του κάτσει.
Επίσης οι θεοί καταλαβαίνουν τι θα τους πεις στα Ελληνικά αλλά απαντάνε μόνο στη δικιά τους γλώσσα με τις λέξεις "pinky" ή "ponky" που σημαίνουν ναι και όχι, αλλά εσύ δεν ξέρεις αν το "pinky" είναι το "ναι" και το "ponky" το "όχι" ή αντίστροφα.
Έχεις δικαίωμα να κάνεις μία και μόνο ερώτηση σε κάθε θεό και αν βρεις τι θεός είναι ο καθένας έχεις την ευλογία τους αλλοιώς σε ρίχνουν στο ηφαίστειο. Τι πρέπει να ρωτήσεις για να σωθείς ;

Καθώς λεπόν κυνηγούσα ένα κουνούπι, σκέφτηκα και μια απλούστερη προσέγγιση.

Θέλουμε εν ουσία να χρωματίσουμε ένα γράφο Γ τριών κορυφών {1ος θεός, 2ος θεός, 3ος θεός}={1,2,3} με τρία χρώματα {Αλήθεια, Ψέμα, Τυχαιότης}={Α,Ψ,Τ}.

Αν γνωρίζουμε οποιεσδήποτε 2 κορυφές του γράφου και τα χρώματά τους, τότε αυτόματα συνάγουμε το χρώμα της 3ης κορυφής.
Αυτό συνεπάγεται ότι ο γράφος Γ είναι ολικά συνεκτικός: Υπάρχει αληθοσυνάρτηση φ με πεδίο ορισμού τις τρείς κορυφές και πεδίο τιμών τα τρία χρώματα η οποία να είναι αμφιμονοσήμαντη.

Με βάση αυτό ο καθορισμός των τιμών φ(1),φ(2),φ(3) είναι ιοοδύναμος με το να οριστεί αλγόριθμος/αληθοσυνάρτηση Φ με την ιδιότητα η φ να καθιστάται αμφιμονοσήμαντη (πράγμα εφικτό από το προηγούμενο ποηντ).


Σε αυτό το πδφ του 1967

[https://ac.els-cdn.com/S002198006780097 ... dea448f1ac

αναφέρεται στην παράγραφο 2 ένα αποτέλεσμα το οποίο περιγράφει (αλλά και περιγράφεται στην συνεπαγωγή α<->β) για το δικό μας γράφο Γ.

Ο μοναδικός χρωματισμός των κορυφών είναι ισοδύναμος με την υπόθεση ότι υπάρχει μη τετριμμένος μονόκυκλος (ακολουθία χρωματισμού των κορυφών) με τιμές στην διεδρική ομάδα Δ2 των συμμετριών ισοσκελούς τριγώνου.

Στην περίπτωσή μας, ο χρωματισμός των κορυφων ειναι βέβαιος. Άρα αρκεί να περιγράψουμε αλγοριθμικά πως μπορούμε να συνδέσουμε τις τιμές
κορυφή/αληθοτιμή (Χ,Ζ(φ(Χ))) (με τις συμμετρίες ισοσκελούς τριγώνου, όπου η Ζ περιγράφεται τρεις παραγράφους πιο κάτω.

Ο τρόπος που μπορεί να γίνει αυτό είναι εντελώς φυσικά μέσω μιας συνάρτησης. Δηλαδή αν απαιτήσουμε ότι η Φ είναι επί (που είναι διότι η αληθοσυνάρτηση είναι αμφιμονοσήμαντη) τότε μπορούμε να δώσουμε μοναδική τιμή {Α,Ψ,Τ} στις κορυφές. Η συνεπαγωγή συνεπώς είναι ισοδύναμη με το να ορίσουμε μια απεικόνιση Ζ από τις τιμές {φ(1),φ(2),φ(3)} στις συμμετρίες {α,β,γ} ενός ισοσκελούς τριγώνου. Συγκεκριμένα:

α) α ειναι η στροφή κατα π/3 ακτίνια
β) β είναι η στροφή κατα 2π/3 ακτίνια
γ) γ είναι η συμμετρία κατά το ορθόκεντρο Ο του τριγώνου

Ξεκινάμε από την τιμή φ(2). Αν φ(2)=πινκυ, τότε Ζ(φ(2))=α, και αν φ(2)=πονκυ, τότε Ζ(φ(2))=β. (Η επιλογή των τιμών αληθές/ψευδές=πινκυ/πονκυ είναι εντελώς αυθαίρετη)

Θέλουμε φυσικά να διατηρείται η ιδιότητα α^2=α και β^2=β για τις συμμετρίες ώστε να μη βγούμε εκτός της διεδρικής ομάδας. Αυτό συνεπάγεται ότι Ζ(φ(2))^2=Ζ(φ(2)) σε κάθε περίπτωση. Κατασκευάζουμε τον αληθοπίνακα για Ζ(φ(2))=α:




αν δεν τα έχω κάνει μούτι στις συνθέσεις. Για Ζ(φ(2))=β ο αληθοπίνακας γίνεται:






Σε κάθε περίπτωση ο μονόκυκλος (ακολουθία χρωματισμών)

(1,Ζ(φ(1)))->(2,Ζ(φ(2)))->(3,Ζ(φ(3)))

καθορίζει μοναδικά εναν ισομορφισμό στη διεδρική ομάδα Δ2, άρα από τις (στοιχειώδεις) ιδιότητες του χρωματισμού του γράφου Γ, έχουμε καθορίσει και μοναδικές τιμές αλήθειας για τη Ζ. Οι τρείς θεοί έχουν καθοριστεί μοναδικά.

[MightyMouse]

e^x + e^(-x) = 2συν(χ^2/2)

x=0 μοναδική λόγω της μονοτονίας του υπερβολικού συνημιτόνου για χ>=0

Κάπου έγραψα νωρίτερα κι ένα hint για γνώσεις β' λυκείου.

Για κάθε x πραγματικό ισχύει,
e^x + e^-x = α + 1/α
για κάποιο α > 0.

Όμως η συνάρτηση f(α) = α + 1/α έχει ολικό ελάχιστο για α = 1 (εύκολα με παράγωγο) και για κάθε α > 0 με α διαφορετικό του 1 έχουμε

f(α) > f(1) = 2

Από την άλλη το δεξί μέλος δε μπορεί ποτέ να είναι πάνω από 2 μιας και είναι δυο φορές το συνημίτονο κάποιας γωνίας. Άρα μοναδική ελπίδα για λύση είναι για α = 1 => x = 0, το οποίο όντως επαληθεύει την αρχική εξίσωση (σε περίπτωση που δε μας το σφυρίξει κανένας σαν τον Φινγκόλφιν).

[Χουργιατς]

β λυκείου
παράγωγος

πότε πήγες β΄λυκειου τελευταία φορά.

[MightyMouse]

Τη δεκαετία του 90

[MightyMouse]

Βρε άνθρωπε, για την α + 1/α μπορείς να τα βρεις το ολικό ελάχιστο και χωρίς παράγωγο αν θες να είσαι όντως τόσο τυπικός.

[MightyMouse]

Χώρια που παραγώγους πρέπει να κάναμε β' λυκείου. Δεν προλαβαίνεις να τα κάνεις καλά όλα τρίτη.

[Χουργιατς]

Χώρια που παραγώγους πρέπει να κάναμε β' λυκείου. Δεν προλαβαίνεις να τα κάνεις καλά όλα τρίτη.

Δεν. Και με το νέο συριζοπρόγραμμα, από 12 ετών δε θα ξαναδείς ταυτότητες, αλλά θα μπορείς να δηλώσεις φυσικό/χημικό/βιολογικό/πληροφορική.


Απδεητ στον ισχυρισμό, ναι μπορείς και χωρίς παραγώγους να βρείς μέγιστο. Αρκεί η ανισότης [latex]\alpha\beta\leq\frac{1}{2}(\alpha^2+\beta^2)[\latex].
Αύτο όμως δεν εγγυάται την μοναδικότητα του μεγίστου.

[MightyMouse]

Μάλλον δεν τα είπα καλά. Το hint είναι:
Για α > 0, να δείξετε: α + 1/α >= 2.

Τα φέρνουμε λοιπόν όλα μπροστά, πολλαπλασιάζουμε με θετικό α κι έχουμε
α² - 2α + 1 >= 0
ή ισοδύναμα
(α-1)² >= 0
και η ισότητα ισχύει μόνο για α = 1.

Άρα μοναδικό το ελάχιστο.

- Ωραίο προβληματάκι btw.

[Χουργιατς]

Μάλλον δεν τα είπα καλά. Το hint είναι:
Για α > 0, να δείξετε: α + 1/α >= 2.

Τα φέρνουμε λοιπόν όλα μπροστά, πολλαπλασιάζουμε με θετικό α κι έχουμε
α² - 2α + 1 >= 0
ή ισοδύναμα
(α-1)² >= 0
και η ισότητα ισχύει μόνο για α = 1.

Άρα μοναδικό το ελάχιστο.

- Ωραίο προβληματάκι btw.

Ναι παιδί μ γλυκό το ίδιο λέμε, την ταυτότητα (χ+ψ)^2>=2χψ την ξέρουν τα παιδάκια από το φροντιστήριο στην 5η δημοτικού.

Αυτό βέβαια δεν εγγυάται μοναδικότητα στο επάνω πρόβλημα γιατί τα παιδάκια στη β λυκείου δεν γνωρίζουν την μονοτονία της e^x, η οποία και εγγυάται την μοναδικότητα του μεγίστου. οέο.

[MightyMouse]

Δηλαδή μου λες πως τελειώνει ο άλλος δευτέρα λυκείου και δεν ξέρει μονοτονία της e^x ;

Από πρώτη λυκείου πέρασαν αυτά τα παιδιά; Εκεί η άλγεβρα έχει κάτι μονοτονίες και κάτι ασκήσεις του στυλ, έστω x₁ < x₂ τότε να δείξετε πως f(x₁) < f(x₂) και κάτι τέτοια.

Επίσης, κοίταξα λίγο online και φαίνεται πως η άλγεβρα δευτέρας λυκείου κάνει επίσης εκθετικές / λογαριθμικές επί τούτου. Δεν καταλαβαίνω τι λες, πραγματικά.