Γιατί υπάρχουν οι φανταστικοί και οι μιγαδικοί αριθμοί;

[Imperium]

Αυτό τα καθιστά εξαιρετικά χρήσιμα σε γραφικά, animation και ρομποτική - βασικά χωρίς αυτά δεν κάνεις δουλειά.

Αυτά τα δύο παίζει να είναι και η πιο διαδεδομένες εφαρμογές (αλλά παραδόξως και oi πιο άγνωστες).
Αν πας να κάνεις την δουλειά με τα παραδοσιακά διανύσματα, γαμιέται ο Δίας, γιατί σε πολλές περιπτώσεις το σύστημα παθαίνει κοκομπλόκο (γνωστό ως gimbal lock).
Με τετραδόνια αυτό αποφεύγεται, αλλά ίσως επειδή οι εξισώσεις φαίνονται πολύπλοκες γραπτώς, αποφεύγονται. Την σήμερον ημέρα όμως έχουμε κομπιούτερ, οπότε δεν τίθεται θέματα. Επίσης επινοούνται νέες άλγεβρες διανυσμάτων, που δεν παρουσιάζουν τα παλιά προβλήματα.

[masterridley]

Δεν υπάρχουν οι μιγαδικών αριθμοί.
Υπάρχει η άλγεβρα των μιγαδικών αριθμών που είναι κάτι το οποίο ορίζουμε εμείς. Όπως ορίζουμε ότι 1+1=2 ( ή αν είναι ψηφορος του αδωνη κάνει 3) ορίζουμε έτσι και ότι i^2=-1.
Φτιάχνουμε έναν άλλο κανόνα.
Αν θες μπορείς να κάνεις δική σου άλγεβρα η οποία θα ισχύει όσο τηρείς τους κανόνες της.
Στην πράξη τώρα, οι μιγαδικοι ρυθμοί κάνουν πιο εύκολους τους υπολογισμούς σε διάφορους τομείς. Για αυτό και χρησιμοποιούνται.

Μην βιάζεσαι τόσο...

ένα χαρτί που είχε βγει το 2021 έλεγε ότι η τωρινή QM χωρίς complex numbers δεν μπορεί να υπάρξει, βλέπε βίντεο εδώ:



Έκτοτε, φαίνεται ότι το χαρτί εκείνο επιβεβαιώθηκε με πειράματα σε Σανγκάη & Σέντσεν (λένε οι συγγραφείς), αλλά δεν ξέρω κατά πόσο έγκυρα ήταν αυτά: https://www.scientificamerican.com/arti ... y-numbers/

Τεσπα, το ζουμί είναι ότι θα έπρεπε η QM να αναπαριστάται αλλιώς και όχι με hilbert spaces or whatever, δεν είμαι ειδικός. Πχ με wigner-functions(?). Αυτό όμως θα έκανε την θεωρία ακόμα πιο non-local απ'ότι είναι τώρα, γάμησε τα...

Εδώ ένα reddit thread για το τελευταίο: https://www.reddit.com/r/Physics/commen ... rs_can_be/

tldr; hold your horses, δεν ξέρουμε ακόμα αν οι complex numbers είναι "αληθινοί" στην φύση (ή έστω στα μοντέλα που χρησιμοποιούμε γι'αυτήν, γιατί με αυτή τη λογική κανένας αριθμός δεν είναι αληθινός)

[masterridley]

Ποιος ο λόγος ύπαρξής τους και τους διδάσκουν στα σχολεία; Ήταν παιχνίδι των μαθηματικών παλιότερης εποχής ή προέκυψαν από κάποια αναγκαιότητα;

όπως είπε ο χέλης, μόνο για τους φυσικούς αριθμούς μπορείς να ισχυριστείς prima facie, ότι είναι υπαρκτοί, βάσει παρατήρησης...

Όμως καθώς προσπαθείς να κάνεις πράγματα, βλέπεις ότι χρειάζεσαι περισσότερα "είδη" αριθμών.

πχ θες να μοιράσεις 3 τούρτες, τσουπ να τα κλάσματα τύπου 1 1/2 = 3/2

Μετά έχεις ένα χωράφι 1x (σε κάποια μονάδα, μέτρα, πόδια, κάτι ώστε να βγαίνει 1χ1). Ποια είναι η διάμετρος τότε; Είναι √2, τσουπ νάτοι και οι πραγματικοί.

Και πάει λέγοντας, έτσι μετά πάμε και στους μιγαδικούς για να λύσουμε άλλες εξισώσεις...

[nyxtovios]

Δεν υπάρχουν οι μιγαδικών αριθμοί.
Υπάρχει η άλγεβρα των μιγαδικών αριθμών που είναι κάτι το οποίο ορίζουμε εμείς. Όπως ορίζουμε ότι 1+1=2 ( ή αν είναι ψηφορος του αδωνη κάνει 3) ορίζουμε έτσι και ότι i^2=-1.
Φτιάχνουμε έναν άλλο κανόνα.
Αν θες μπορείς να κάνεις δική σου άλγεβρα η οποία θα ισχύει όσο τηρείς τους κανόνες της.
Στην πράξη τώρα, οι μιγαδικοι ρυθμοί κάνουν πιο εύκολους τους υπολογισμούς σε διάφορους τομείς. Για αυτό και χρησιμοποιούνται.

Μην βιάζεσαι τόσο...

ένα χαρτί που είχε βγει το 2021 έλεγε ότι η τωρινή QM χωρίς complex numbers δεν μπορεί να υπάρξει, βλέπε βίντεο εδώ:



Έκτοτε, φαίνεται ότι το χαρτί εκείνο επιβεβαιώθηκε με πειράματα σε Σανγκάη & Σέντσεν (λένε οι συγγραφείς), αλλά δεν ξέρω κατά πόσο έγκυρα ήταν αυτά: https://www.scientificamerican.com/arti ... y-numbers/

Τεσπα, το ζουμί είναι ότι θα έπρεπε η QM να αναπαριστάται αλλιώς και όχι με hilbert spaces or whatever, δεν είμαι ειδικός. Πχ με wigner-functions(?). Αυτό όμως θα έκανε την θεωρία ακόμα πιο non-local απ'ότι είναι τώρα, γάμησε τα...

Εδώ ένα reddit thread για το τελευταίο: https://www.reddit.com/r/Physics/commen ... rs_can_be/

tldr; hold your horses, δεν ξέρουμε ακόμα αν οι complex numbers είναι "αληθινοί" στην φύση (ή έστω στα μοντέλα που χρησιμοποιούμε γι'αυτήν, γιατί με αυτή τη λογική κανένας αριθμός δεν είναι αληθινός)

Αυτό που εννοώ είναι ότι οι αριθμοί έχουν την ενπια που τους δίνουμε εμείς και τίποτα παραπάνω.
Η φυσική είναι άλλο πράμα. Μετριέται μεν με αριθμούς αλλά δεν είναι της φαντασίας μας

[Imperium]

masterridley, δεν νομίζω να είπαμε οτι "δεν υπάρχουν" οι διάφοροι αριθμοί της επινόησής μας, εγώ και ο nyxtovios. Μάλλον οτι δεν μπορεί να τους συλλάβει ο νους μας (πχ ένα τετραδιάστατο διάνυσμα), ενώ με τις άλγεβρές τους μπορούμε να καταλάβουμε πώς συμπεριφέρονται, και έτσι να αντλήσουμε κάποιες χρήσιμες γνώσεις. Για αυτό δεν μπορούμε να τους δώσουμε "έννοια" έκτος της άλγεβράς τους

Απαντόντας στον νηματοθέτη, θα έλεγα οτι δεν υπάρχουν "παιχνιδιάρικα" και "εφαρμοσμένα" μαθηματικά ξέχωρα το ένα απο το άλλο. Απο την στιγμή που ανακαλύπτονται, ανακαλύπτεται και η εφαρμογή τους (άσχετα αν μας παίρνει λίγο να την συνειδητοποιήσουμε)!

Και δεν εννοώ μόνο περιπτώσεις σαν τα fractals (Sorry, den milaei kala Ellinikos), που όταν τα πρωτοανακάλυψε ο Πουανκαρέ τα απεκάλεσε "τερατουργήματα". Μετά έγιναν της μόδας αλλα και πάλι λέγαν - ωραία παιγνιδάκια, ωραίες εικονίτσες, αλλά ΠΟΙΑ η χρησιμότητά τους; Ε μετά βγήκε το jpeg, και αποδείχθηκε ότι είχαν αξία δισεκατομμυρίων $$$$$.

Εννοώ οτι κάθε νέα μαθηματική ανακάλυψη, είναι και μια ανακάλυψη ενος συμπαντικού νόμου, που αργά ή γρήγορα θα βρεί την εφαρμογή της στον μάταιο κόσμο μας.

Το περίφημο απόφθευγμα του Eugene Wigner, αξίζει λίγο διαλογισμό:

The miracle of the appropriateness of the language of mathematics for the formulation of the laws of physics is a wonderful gift which we neither understand nor deserve. We should be grateful for it and hope that it will remain valid in future research and that it will extend, for better or for worse, to our pleasure, even though perhaps also to our bafflement, to wide branches of learning.”

Όποιος θέλει ας το μεταφράσει, για τους υπόλοιπους.

Παρεμπιπτόντως, νομίζω οτι δεν αναφέρθηκε οτι η μεγαλύτερη εφαρμογή των μιγαδικών αριθμών ήταν στα... ίδια τα μαθηματικά, συγκεκριμένα στον τομέα της ανάλυσης (λογισμικού). Η λιτότητα, κομψότητα, και ολοκληρωμένη παρουσίαση της μιγαδικής ανάλυσης κάνει την πραγματική να φαντάζει στρυφνή και ατσούμπαλη,

[Imperium]

ένα χαρτί που είχε βγει το 2021 έλεγε ότι η τωρινή QM χωρίς complex numbers δεν μπορεί να υπάρξει, βλέπε βίντεο εδώ:

Δεν είμαι φυσικός, αλλά αυτό θα μου φαινόταν σωστό, μόνο και μόνο εφόσον οι πρώτες εργασίες του Heisenberg προυποθέτουν non-commutative matrx multiplication. (Πώς το είπαμε πάλι;;)
Μπορει βεβαία αυτό να γίνεται και χωρίς μιγαδικούς, δεν γνωρίζω αρκετά για να πω.

(ΥΓ. Πάντα διασκεδαστική η Sabine!)

[Ανδροπαραδίνομαι]

τα πρωτα ειναι ορισμοι,η σχεση de moivre βγαίνει ευκολα τριγωνομετρικα απ τις
Θ1 κ Θ2,το παρτυ ξεκιναει με την περιφημη ταυτότητα του Euler
exp(iz)=συνθ+iημθ

https://drive.google.com/file/d/1K1NMpb ... vds_R/view

https://drive.google.com/file/d/1W42xdV ... Ll5n6/view

https://drive.google.com/file/d/1JZKnY8 ... ri7t2/view


επισης κ στα κυκλώματα εναλλασομενου ρεύματος

κοίτα κι εδω για την exp(x) και πως βγαινουν οι διαφορικες εξισωσεις
viewtopic.php?f=14&t=3325

το 1ο θεμα
viewtopic.php?f=14&t=21822&start=15

πηγές
1-Δασκαλόπουλος διαφορικες εξισωσεις I,II,III στο ΑΠΘ
2-Περσιδης μεταφρ των διαφορικων εξισωσεων της σειρας SHAUM
3-ΦΥΣΙΚΗ των HALIDAY-RESNICK

Όλα καλά πύτε μου;

α ναι το πυτε.....τι έγινε ρε πυτακλα.....τετοια αμεσοτητα δεν περίμενα,
με μια απλη κινηση εβγαλες οφ τα μιγαδικα-διαφορικά

δυσκολα τα πραματα....πολλα χρεη σε εφοριες κ αλλες υποχρεωσεις.....γ@m...ta
εκτος απ το νυκτερινο κυνηγαω και κανα ιδιαίτερο,
ευχαριστω ρε συ που με θυμήθηκες

Υπομονή. Αν την σκαπουλάρω αυτόν τον μήνα, κερνάω γεύμα

[regarding_to_Being]

Έχουν χρήση σε κάποιες επιστήμες. Όπως για παράδειγμα σε προβλήματα ηλεκτρικών κυκλωμάτων.

Δεν μπορείς να πεις κάτι παραπάνω;

Στα κυκλώματα που κάνεις στο σχολείο έχεις τάση = αντίσταση * ένταση ρεύματος πράγμα που είναι σωστό για συνεχές ρεύμα και απλή αντίσταση.

Στα αληθινά κυκλώματα έχεις εναλλασσόμενο ρεύμα που έχει και συχνότητα εκτός από ένταση ενώ υπάρχουν και δύο άλλα είδη στοιχείου, ο πυκνωτής και το πηνίο. Η σχέση της τάσης και του ρεύματος περιγράφεται από πολύ πιο σύνθετες εξισώσεις με ρίζες αθροισμάτων τετραγώνων πηλίκα και μαλακίες, όμως αν χρησιμοποιήσεις μιγαδικούς είναι πάλι τάση = αντίσταση * ένταση ρεύματος (βέβαια η μιγαδική αντίσταση που περιγράφει και πυκνωτές και πηνία λέγεται εμπέδηση όχι αντίσταση αλλά αυτό είναι θέμα ορολογίας).

Δηλαδή οι μιγαδικοί σε γενικές γραμμές σου επιτρέπουν κυματική φαινόμενα (όπως είναι το εναλλασσόμενο ρεύμα και το τι παθαίνει περνώντας από ένα πηνίο) να τα αναπαραστάσεις με απλές γραμμικές αλγεβρικές σχέσεις αντί για σχέσεις τριγωνομετρίας.

κατ αρχην εδω κ κατι δεκαετιες εχει καταργηθεί το sqr(-1)=i
οριζεται ο i που ανηκει στο μιγαδικο επιπεδο CxC ωστε i^2=-1
η εξισωση z^2=-1 εχει 2 ριζες Z1=i και Z2=-i....(οχι για σενα αυτα)
΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄΄
καλα τα ειπες για τη εμπεδηση στα κυκλωματα εναλλ ρευματος,κοιτα ομως
αλλο Ωμικη αντισταση R και αλλο εμπεδηση πηνιου με ταση V=L(dI/dt)
η εμπεδηση στο πηνίο ειναι ηλ/μαγνητικο φαινομενο επαγωγης στο ιδιο το
κυλωμα που εμποδιζει το ρευμα να παρει την οριακη τιμη,ενω η αντισταση R
οφειλεται στις συγκρουσεις των ηλ/νιων με τα ατομα του μεταλλικου δεσμου,
γι' αυτο κ το φαινομενο joule

https://drive.google.com/file/d/1-H0_f3 ... md0QG/view

https://drive.google.com/file/d/12Bw0xL ... h2uJL/view

https://drive.google.com/file/d/15CM3CF ... fhLE8/view

https://drive.google.com/file/d/1aGtHTO ... iNIdW/view


Φοσκι τα pdf τα εβαλα γιατι απ οτι ξερω ενδιαφερεσαι περισσότερο για τεχνολογικα ζητήματα,
οπως τις φωτο με τη ψηφιακη καμερα,παρα με το πως θεμελιωνεται ο μιγαδικος χωρος CxC
στις Αλγεβρικες δομες.....αλλα κ για οποιον αλλον ενδιαφερεται

[regarding_to_Being]

Μακάρι να υπήρχε μία ενότητα κάτι σαν φροντιστήριο όπου όποιος ξέρει κάτι να το μαθαίνει στους υπόλοιπους.

οποιος θελει να ρωτησει κατι πανω σε maths λυκειου Α,Β,Γ κατ/νσης αλλα κ
διαφορικο-ολοκληρωτικο λογισμο μπορει να τα πουμε οταν εχω χρονο εδώ
viewtopic.php?f=14&t=21822
και βεβαια αν μπορω να το παλέψω,πχ αν μου βαλει καποιος κανα ξεγιρισμενο
θεμα με μετασχηματισμους λαπλας η ΔΕ με μερικες παραγωγους που ταχω αφησει χρονια...


ιδιαιτερα φροντιστηριακα μαθηματα σε πχωρουμιτες δεν κανω bro

[Σπίρτο]

Μακάρι να υπήρχε μία ενότητα κάτι σαν φροντιστήριο όπου όποιος ξέρει κάτι να το μαθαίνει στους υπόλοιπους.

οποιος θελει να ρωτησει κατι πανω σε maths λυκειου Α,Β,Γ κατ/νσης αλλα κ
διαφορικο-ολοκληρωτικο λογισμο μπορει να τα πουμε οταν εχω χρονο εδώ
viewtopic.php?f=14&t=21822
και βεβαια αν μπορω να το παλέψω,πχ αν μου βαλει καποιος κανα ξεγιρισμενο
θεμα με μετασχηματισμους λαπλας η ΔΕ με μερικες παραγωγους που ταχω αφησει χρονια...


ιδιαιτερα φροντιστηριακα μαθηματα σε πχωρουμιτες δεν κανω bro

Ενότητα στο φόρουμ είπε ο άνθρωπος όχι ιδιαίτερα.

[marabou]

Είδα αυτό το βίντεο. Αρκετά καλό ως γενική εισαγωγή

[Imperium]

Για όσους θέλουν ένα βιβλίο το οποίο μπορει να μελετήσει σχετικά αρχάριος αλλά και έμπειρος μαθηματικός, και να το απολαύσει, λόγο της πολύ ιδιαίτερης προσέγγισής του (μοναδικής θα έλεγα) - το οποίο πιο πολύ μοιάζει με έργο τέχνης παρά με ξερό εγχειρίδιο, προτείνω το Visual Complex Analysis του Tristan Needham.

[regarding_to_Being]

Ποιος ο λόγος ύπαρξής τους και τους διδάσκουν στα σχολεία; Ήταν παιχνίδι των μαθηματικών παλιότερης εποχής ή προέκυψαν από κάποια αναγκαιότητα;

νομιζω πως η αναγκαιοτητα ηταν οτι δεν οριζοταν η τετραγωνικη ρίζα αρνητικου αριθμου. ορισαν την τετραγωνικη ρίζα του -1 ισον με j.
1j είναι η μονάδα μετρησης των φανταστικων αριθμων (κάθετος άξονας στους πραγματικους αριθμους). οι μιγαδικοι κινούνται στο επίπεδο των δυο αξόνων.
βρίσκει εφαρμογη στον υπολογισμο της άεργης ισχύς στον ηλεκτρισμο, στους πυκνωτες που το ρεύμα προπορευεται της τασης, και το αναποδο στα πηνια.

κατ αρχην εδω κ κατι δεκαετιες εχει καταργηθεί το sqr(-1)=i
οριζεται ο i που ανηκει στο μιγαδικο επιπεδο CxC ωστε i^2=-1
η εξισωση z^2=-1 εχει 2 ριζες Z1=i και Z2=-i


τουλάχιστον να έγραφες "άνεργη ισχύς" θα μπορουσαμε να το μπαλωσουμε κάπως
δηλ θα εννοουσαμε οτι μια ηλ.γεννήτρια εμεινε απουλητη προς το παρόν.....
αλλα αεργη....

https://drive.google.com/file/d/1-CNsr0 ... bsY4z/view

https://drive.google.com/file/d/1t__c4j ... J37a8/view

[xlsms]

Ποιος ο λόγος ύπαρξής τους και τους διδάσκουν στα σχολεία; Ήταν παιχνίδι των μαθηματικών παλιότερης εποχής ή προέκυψαν από κάποια αναγκαιότητα;

νομιζω πως η αναγκαιοτητα ηταν οτι δεν οριζοταν η τετραγωνικη ρίζα αρνητικου αριθμου. ορισαν την τετραγωνικη ρίζα του -1 ισον με j.
1j είναι η μονάδα μετρησης των φανταστικων αριθμων (κάθετος άξονας στους πραγματικους αριθμους). οι μιγαδικοι κινούνται στο επίπεδο των δυο αξόνων.
βρίσκει εφαρμογη στον υπολογισμο της άεργης ισχύς στον ηλεκτρισμο, στους πυκνωτες που το ρεύμα προπορευεται της τασης, και το αναποδο στα πηνια.

κατ αρχην εδω κ κατι δεκαετιες εχει καταργηθεί το sqr(-1)=i
οριζεται ο i που ανηκει στο μιγαδικο επιπεδο CxC ωστε i^2=-1
η εξισωση z^2=-1 εχει 2 ριζες Z1=i και Z2=-i


τουλάχιστον να έγραφες "άνεργη ισχύς" θα μπορουσαμε να το μπαλωσουμε κάπως
δηλ θα εννοουσαμε οτι μια ηλ.γεννήτρια εμεινε απουλητη προς το παρόν.....
αλλα αεργη....

https://drive.google.com/file/d/1-CNsr0 ... bsY4z/view

https://drive.google.com/file/d/1t__c4j ... J37a8/view

στο πρώτο +1

αλλα στο δευτερο δεν καταλαβα τι εννοείς; δεν υπάρχει άεργος ισχύς;

[marabou]

Για όσους θέλουν ένα βιβλίο το οποίο μπορει να μελετήσει σχετικά αρχάριος αλλά και έμπειρος μαθηματικός, και να το απολαύσει, λόγο της πολύ ιδιαίτερης προσέγγισής του (μοναδικής θα έλεγα) - το οποίο πιο πολύ μοιάζει με έργο τέχνης παρά με ξερό εγχειρίδιο, προτείνω το Visual Complex Analysis του Tristan Needham.

Με 100 ευρώ; Να μου λείπει. Ας μη μάθιω ποτέ. Ας μάθουν οι πλούσιοι.