pussycat έγραψε: 04 Φεβ 2025, 19:08
Ανίκητος έγραψε: 04 Φεβ 2025, 18:58
pussycat έγραψε: 04 Φεβ 2025, 18:53
Ε οκ τελοσπάντων, συμφωνείς πως αν το πλήθος αυτών των στηλων ειναι n, τότε η πιθανότητα να βρεθεί νικητής στο τζόκερ είναι n/24_435_180;
Υπό τη συνθήκη n=m. Αν n<m, δεν νομίζω.
Οπότε λέμε:
n: πλήθος διακριτών στηλών
m: πλήθος όλων των στηλών που παίχτηκαν
k: πλήθος όλων των δυνατών στηλών του παιχνιδιού = 24_435_180
Εγώ ισχυρίζομαι πως η πιθανότητα να βρεθεί νικητής δίνεται από τον τύπο n/k, και είναι ανεξάρτητη από το m.
Εσύ τι λες;
Ανίκητος έγραψε: 04 Φεβ 2025, 19:14
Σωστή προσέγγιση είναι, αλλά δείξε μου πώς βρίσκεις τις n διακριτές στήλες από το σύνολο m.
(Ποια η πιθανότητα οι m στήλες να προέρχονται από n διακριτές)
Θα προχωρήσω λίγο σε αυτή την προσέγγιση. Θα βάλω σύμβολο ν=24435180 το πλήθος όλων των δυνατών στηλών του παιχνιδιού, γιατί θα χρησιμοποιήσω αλλιώς τα k. Επίσης για το πλήθος των διακριτών στοιχείων θα χρησιμοποιήσω το s.
Μ είναι η λίστα όλων των παιγμένων στηλών μιας κλήρωσης τζόκερ, που έχει πλήθος m. Περιλαμβάνει κάποια στοιχεία από όλο τον "χώρο" των στηλών {1, ..., ν} που επαναλαμβάνονται. Αν μια στήλη i ανήκει στη λίστα Μ, θα επαναλαμβάνεται k
i>0 φορές (μία, δυο, τρεις κλπ). Αν η στήλη i δεν βρίσκεται στη λίστα Μ θα έχουμε συμβατικά k
i=0. Με άλλα λόγια για κάθε στοιχείο από όλες τις δυνατές στήλες φτιάχνουμε έναν αριθμό (ας τον πούμε πολλαπλότητα ή δείκτη επανάληψης, στη λίστα M).
Το ενδιαφέρον αυτών των αριθμών είναι:
(1) ότι είναι ακέραιοι θετικοί ή μηδέν
(2) k
1+...+k
v=m (v=24435180, το m γνωστοποιείται σε κάθε κλήρωση)
(3) Αυτοί που είναι μηδέν, μας βοηθούν για να βρεθούν οι s διακριτές στήλες από τη λίστα των m στοιχείων.
Το πρόβλημα είναι ότι δεν ξέρουμε πόσοι και ποιοι είναι οι συγκεκριμένοι δείκτες, θα πιθανολογήσουμε απαριθμώντας τις ακέραιες λύσεις γραμμικής εξίσωσης που είναι στο (2). Η απαρίθμηση ακολουθεί τους τρόπους να κατανείμεις m αντικείμενα σε ν δοχεία, επιτρέποντας να μείνουν άδεια δοχεία.
Αν έχω μεταφέρει σωστά τον τύπο, τότε η πιθανότητα το k
i να είναι μηδέν, δηλαδή ότι η στήλη i δεν ανήκει στη λίστα των παιγμένων, είναι:
p=P(k
i=0)=(ν-1)/(m+v-1)
Ενώ η στήλη έχει πολλαπλότητα k
i>0 με πιθανότητα 1-p και επομένως ανήκει στις διακριτές στήλες της λίστας.
Αυτό δηλαδή σημαίνει ότι έχω μια υπολογισμένη πιθανότητα επιτυχούς δοκιμής Bernoulli, με την οποία μπορώ να "σαρώσω" μία-μία, κάθε στήλη i από τον χώρο των δυνατών στηλών και να βρω πιθανότητα να ανήκει στη λίστα. Με τις γνωστές ενστάσεις
περί ανεξαρτησίας των δοκιμών, έχω ν δοκιμές Bernoulli, δηλαδή διωνυμική κατανομή.
Prob{ο αριθμός διακριτών στηλών της λίστας των παιγμένων είναι ακριβώς s} = C(v,s)*(m/m+v-1)^s * (v-1/m+v-1)^(v-s)
(όπου C(v,k) το πλήθος συνδυασμών ν ανά k)
Και από εκεί και πέρα μπορούμε να φτιάξουμε πιθανότητες για την εύρεση νικητή στη βάση του τύπου: Prob{υπάρχει νικητής}=s/v
Εκτός του s έχουμε όλες τις άλλες ποσότητες γνωστές, σχετικά απλοί τύποι στον υπολογισμό, αλλά δεν θα βάλω ακόμη αριθμούς. Το ποστ γράφτηκε με κάποιο ενθουσιασμό της ανεύρεσης: μπορεί όλο το σκεπτικό να βγαίνει λάθος, μπορεί να έχω επιμέρους λάθη, αλλά τελοσπάντων, απλά το δείχνω.
(kudos σε pussycat)
