το στεκι του wannabe μαθηματικού

[Ασέβαστος]

Spoiler

Διάβασα τις τοποθετήσεις αρκετών που ξεκαθάρισαν εκ νέου το ζήτημα.
Όπως των Gherschaagk, Puma, Εnaon(έκανε στροφή 90 ή...180 μοιρών), ethereal ίσως και άλλων

Λοιπόν και για τα μήλα πάλι:

Ο Νίκος και οι 4 φίλοι του μοιράστηκαν εξίσου 6 μήλα.
Τι μέρος από τα μήλα πήρε το κάθε παιδί;
Θέλουμε να μοιράσουμε τα 6 μήλα στα 5 παιδιά.
α΄ τρόπος:Χωρίζουμε κάθε μήλο σε 5 ίσα μέρη, όσα είναι τα παιδιά. Κάθε κομμάτι είναι το .
Κάθε παιδί θα πάρει 6 τέτοια κομμάτια, όσα είναι τα μήλα, δηλαδή 6 ☓ = .
β΄ τρόπος:Θα κάνουμε διαίρεση 6 : 5 = . Κάθε παιδί πήρε τα ή 1 των μήλων.


Πολλοί θεωρούν ότι έπρεπε να λέει τα 6/5 του μήλου.
Λάθος!
Το εξηγήσαμε, το ξαναγράφουμε χωρίς σχήμα.

Όταν λέμε τα 5/5 των μήλων, εννοούμε την ακέραια μονάδα, δηλαδή είναι ένα μήλο.
Όταν λέμε τα 10/5 των μήλων, έχουμε δύο μήλα
Όταν λέμε τα 30/5 των μήλων, έχουμε έξι μήλα
Άρα το καθένα από τα πέντε παιδιά, θα πάρει τα 6/5 των μήλων.

Η σύγχυση έγκειται στο ότι ερμηνεύεται το 5/5 σαν να είναι όλα τα μήλα και άρα τα 6/5 νομίζουν ότι είναι παραπάνω από όσα έχουμε.
Αλλά το 5/5 αφορά το ένα μήλο.
Για αυτό ορθώς η λύση χρησιμοποιεί πληθυντικό, αφού όλα τα μήλα είναι 30/5, τότε ο καθένας θα πάρει τα 6/5 των μήλων.

Αυτό με την γενική είναι απαράδεκτο (κατά την ταπεινή μου γνώμη).

Θα στο εξηγήσω με ένα άλλο παράδειγμα με ελαφρώς διαφορετικά νούμερα. Έστω ότι είχες 2 μήλα και 4 μαθητές. Σύμφωνα με την λογική που χειρίζεται το βιβλίο τον πληθυντικό η απάντηση θα προέκυπτε από την διαίρεση 2 : 4

2/4 μήλων ή με απλοποίηση 1/2 μήλων

Φαντάσου τώρα τον παρακάτω διάλογο:

Γιωργάκης: κυρία, κυρία!
Δασκάλα: λέγε Γιωργάκη
Γ: το 1/2 δεν είναι το μισό
Κ: ναι
Γ: Αν ο πρώτος μαθητής πάρει το μισό των μήλων και ο δεύτερος το άλλο μισό, τότε τι θα μείνει για τους δύο άλλους μαθητές;

Εδώ όπως καταλαβαίνεις θα αναγκαστεί η δασκάλα να εξηγήσει ότι όταν λέει τα 2/4 των μήλων ή το 1/2 των μήλων, εννοεί το 1/2 του ενός μήλου.

Νομίζω ότι είναι ξεκάθαρο πόσο κακή και ασαφής είναι η διατύπωση με τον πληθυντικό.

Πάμε τώρα και στην άσκηση με τις σοκολάτες. Σηκώνει η κυρία ένα παιδί στην έδρα, του δίνει τις 3 σοκολάτες (με 8 κομματάκια ή κάθε μία) και του ζητάει να ξεχωρίσει τα 3/8 των σοκολατών.

Αν αυτό γίνει ως συνέχεια του προβλήματος που συζητούσαμε σε άλλες σελίδες, το παιδί μάλλον θα ξεχωρίσει 3 μικρά κομματάκια. Αν όμως γίνει μια άλλη μέρα με τις ίδιες σοκολάτες, μπορεί να ξεχωρίσει 9 κομμάτια (τα 3/8 της συνολικής ποσότητας).

Είναι δυνατόν για την ίδια ακριβώς διατύπωση να υπάρχουν 2 λύσεις; Δεν είναι ολοφάνερο πως δημιουργείται πρόβλημα;

ωραία παραδείγματα ΣΤ. την αριθμητική την αναλύσαμε κι όποιος σκαμπάζει κατάλαβε.

για το γλωσσικό θέμα, το πρόβλημα με την διατύπωση είναι ότι είναι στην καθομιλουμένη, κατανοητό ως ένα βαθμό αφού απευθύνεται σε παιδιά, και δεν ακριβολογεί παραλείποντας με λάθος τρόπο τα (υποτίθεται) ευκόλως εννοούμενα.

η φράση ότι κάποιος πήρε ένα αντικείμενο από ένα πλήθος αντικειμένων διαφορετικού είδους είναι:

πήρε ένα ....... από τα .......
πήρε ένα μήλο από τα φρούτα
πήρε ένα κατσαβίδι από τα εργαλεία
πήρε ένα πουκάμισο από τα ρούχα
κλπ

όταν τα αντικείμενα είναι τού ίδιου είδους η φράση γίνεται:

πήρε ένα μήλο από τα μήλα
πήρε ένα κατσαβίδι από τα κατσαβίδια
πήρε ένα πουκάμισο από τα πουκάμισα
κλπ

οπότε είτε το πρώτο είτε το δεύτερο παραλείπεται:

1. πήρε ένα μήλο (απ΄τα μήλα εννοείται, από πού αλλού να το πάρει)
2. πήρε ένα από τα μήλα (μήλο πήρε εννοείται, τι άλλο να πάρει)

στην περίπτωση τής άσκησης, όπως εξηγήσαμε, το μήλο είναι την ουσία μονάδα μέτρησης και δεν μπορεί να παραλειφθεί. αν τα μοιράζαν σε γραμμάρια θα μπορούσε η απάντηση να είναι «κάθε παιδί θα πάρει 150 από τα μήλα»;

η άσκηση όχι μόνο κάνει τις παραλείψεις, αλλά τις μπερδεύει κιόλας:

- στην εκφώνηση χρησιμοποιεί την 2η παράλειψη: «τι μέρος από τα φρούτα θα πάρει»
- στην μεθ. α χρησιμοποιεί την 1η παράλειψη, αλλά παραλείπει και τον προσδιορισμό: «θα πάρει 6/5 [τού μήλου]»
- στην μεθ. β χρησιμοποιεί πάλι την 2η παράλειψη, αλλά πετάει και λάθος γενική θέλοντας να πει «[εκ] των» αντί για «από τα»: «θα πάρει 6/5 [εκ] τών μήλων»

κανονικά δεν έπρεπε να παραλείψει τίποτα: «τι μέρος τού μήλου θα πάρει από τα μήλα κάθε παιδί;»

ή ακόμα καλύτερα να το σπάσει σε δύο σκέλη για να είναι πιο κατανοητό και να αποφεύγονται τα φαινόμενα Γκερ.

«τι μέρος τών μήλων θα πάρει κάθε παιδί; σε τι μέρος τού μήλου αντιστοιχεί αυτό;»

α) πρώτα εξηγούμε ότι για να τα μοιράσουμε θα τα χωρίσουμε σε πέντε ίσα μέρη και κάθε παιδί θα πάρει ένα από αυτά, δηλαδή κάθε παιδί θα πάρει το ένα πέμπτο (1/5) τών μήλων.

β) μετά εξηγούμε με τα κομματάκια πώς μπορούμε να καταφέρουμε να τα χωρίσουμε σε 5 ίσα μέρη με βάση το μέρος τού μήλου, ώστε κάθε παιδί να πάρει μετρημένα έξι πέμπτα (6/5) τού μήλου.

γ) τέλος εξηγούμε ότι είναι ακριβώς το ίδιο να κάνεις απ'ευθείας την διαίρεση με τον αριθμό τών παιδιών για να βρείς τι μέρος των μήλων και πόσα μήλα θα πάρει κάθε παιδί: «κάθε παιδί θα πάρει το 1/5 τών μήλων που αντιστοιχεί σε 6/5 τού μήλου (6/5 μήλα), δηλαδή κάθε παιδί θα πάρει ένα ολόκληρο μήλο και ένα πέμπτο τού μήλου (1+1/5 μήλα).»

δ) ο καλός δάσκαλος μπορεί να κάνει και λίγο εξωβιβλιακή πλακίτσα, ότι έτσι μπορούν να καταλάβουν ότι δεν είναι ανάγκη να κόψουν όλα τα μήλα για να τα μοιραστούν, αλλά μόνο ένα, οπότε δεν είναι εντελώς άχρηστα τα μαθηματικά στην ζωή.

ετσι ακριβως θα ηταν μια καλη ασκηση, και ενας καλος εκπαιδευτικος.

[enaon]

πράγματι πολυ ωραίος ο Bill Hicks

[Gherschaagk]

Κατά τα άλλα σύμφωνα με τον Ασέβαστο η σωστή απάντηση στο πρόβλημα είναι το 3/24.

κατα τον ασεβαστο δεν υπαρχει σωστη απαντηση στο προβλημα, γιατι ειναι λαθος η διατυπωση.

για να μπορει να υπαρξει σωστη απαντηση, θα επρεπε εκει που λεει "απο τις 3 σοκολατες" να λεει "απο 1 σοκολατα" για να ειναι σωστο το 3/4, η "απο το συνολο των σοκολατων" για να ειναι σωστο το 1/4.

αν πρεπει να δωσουμε οπωσδηποτε μια απαντηση στο κακοδιατυπωμενο προβλημα, που να καταληγει σε "απο τις 3 σοκολατες" τοτε η πιο κοντινη στην αληθεια ειναι 1/4

Σοβαρά τώρα;

Το ότι δεν μπορείς να χωρίσεις εσύ 3 σοκολάτες δεν σημαίνει πως δεν μπορούν και οι υπόλοιποι.

[nik_killthemall]

Νίκο ηταν 3-4 ερωτήσεις που συζητούσαμε, αλλα δες αυτή που εφαγε τον πιο πολύ χρόνο αν θες και γράψε αν εχεις καποια παρατήρηση

Οκ υπαρχει ενα μικρο θεμα διατυπωσης, αντι για
"Επειδή έχουμε 3 σοκολάτες, τελικα το κάθε παιδί θα πάρει τα 3/8 από τις 3 σοκολάτες"
έπρεπε να γράφει
"Οπότε από τις 3 σοκολάτες που έχουμε εμείς το κάθε παιδί θα πάρει 3 τέτοια κομματια, δηλ. 3/8 της σοκολάτας".

Το παιδί θα πάρει τα 3/8 από οποιαδήποτε σοκολάτα. Μπορεί το 1/8 να είναι από την πρώτη σοκολάτα, το δεύτερο 1/8 να είναι από την δεύτερη και το τρίτο 1/8 από την τρίτη ή μπορεί να πάρει τα 3/8 από μία σοκολάτα.

Ο πληθυντικός υπενθυμίζει πως είχαμε περισσότερες από μία σοκολάτες από την αρχή του προβλήματος. Κι επειδή δεν έγιναν ποτέ οι 3 σοκολάτες μια (ειδάλλως θα είχαμε 3/24 για κάθε παιδί), παραμένει ο πληθυντικός μέχρι τέλους.

Για αυτό δεν είναι λάθος η απάντηση. Ούτε υπάρχει θέμα με την διατύπωση.

Κατά τα άλλα σύμφωνα με τον Ασέβαστο η σωστή απάντηση στο πρόβλημα είναι το 3/24.

Όχι δεν είναι σωστό, γιατί δεν έχουμε μία σοκολάτα.
Τότε θα ήταν σωστό το 3/24.
Ας το δούμε όμως αυτή τη φορά και με την την αντίστροφη διαδικασία:
8 παιδιά επί 3/24 * 3σοκολάτες έχουμε 24/24 * 3 σοκολάτες, δηλαδή μία ακέραια μονάδα, άρα μία * 3 σοκολάτες = 3 σοκολάτες .
Τι έλεγε όμως η άσκηση ως υπόθεση; Ότι έχουμε τρεις σοκολάτες.
Άρα να το λάθος.
Η λύση 3/24 δεν οδηγεί στην σωστή υπόθεση, όπερ άτοπο.

Αυτό που κάνεις είναι αυθαίρετο σε ότι αφορά τα μαθηματικά. Στην καθημερινότητα είναι οκ, στα βιβλία δεν στέκει. Για αυτό είσαι λάθος.

Σε αυτό που γράφεις (και ο μαθηματικός αντίστοιχα) υπάρχει ένα λάθος που στον μαθηματικό είναι σίγουρα σκόπιμο. Στα "φυσικά" προβλήματα όλοι οι αριθμοί έχουν μονάδες, δεν είναι καθαροί αριθμοί εκτός κι αν είναι ποσοστά. Εκείνο το 3/24 λοιπόν που γράφει ο μαθηματικός έχει μονάδες δίπλα του που ο μαθηματικός τις προσπερνά.

Αν οι μονάδες που έχει δίπλα του ο 3/24 είναι η ποσότητα "1 σοκολάτα", τότε ο μαθηματικός και ο συλλογισμός που παραθέτει είναι σωστός. Δηλ. η απαντηση 3/24 της σοκολατας ειναι λάθος.

Αν όμως οι μονάδες που έχει δίπλα του ο 3/24 είναι η ποσότητα "3αδα σοκολατών" τότε ο μαθηματικός και ο συλλογισμός του είναι λάθος γιατί θα διορθωθεί με το κόκκινο που υποδεικνύω, και ο μαθηματικός είναι σίγουρο πως το γνωρίζει.

Το να αποφύγει η εκμαθηση διαιρεσης - κλασματων να εμπλεξει τις εκαστοτε μονάδες ειναι αναποφευκτο, γιατί αυτές είναι στη πραγματικότητα μέρος της διαίρεσης.

Παιδαγωγικώς το πιο ορθό θα ήταν απλά το "ο κάθε μαθητής θα πάρει τα 3/8 μιας σοκολάτας", το "3/8 των 3 σοκολατων" ειναι λαθος, ενώ το "3/24 των 3 σοκολατων" αντιπαιδαγωγικό.

[nik_killthemall]

η 3η πρόταση έπρεπε να λέει:
«Επειδή έχουμε τρεις (3) σοκολάτες, τελικά, το κάθε παιδί θα πάρει τρία όγδοα (3/8) σοκολάτας από τις τρεις σοκολάτες.»

Σωστό, η βελτιστη διατυπωση.

[stavmanr]

η 3η πρόταση έπρεπε να λέει:
«Επειδή έχουμε τρεις (3) σοκολάτες, τελικά, το κάθε παιδί θα πάρει τρία όγδοα (3/8) σοκολάτας από τις τρεις σοκολάτες.»

Σωστό, η βελτιστη διατυπωση.

Μπα.
Κι αυτή η διατύπωση είναι εξίσου διφορούμενη.

[Ασέβαστος]

Κατά τα άλλα σύμφωνα με τον Ασέβαστο η σωστή απάντηση στο πρόβλημα είναι το 3/24.

κατα τον ασεβαστο δεν υπαρχει σωστη απαντηση στο προβλημα, γιατι ειναι λαθος η διατυπωση.

για να μπορει να υπαρξει σωστη απαντηση, θα επρεπε εκει που λεει "απο τις 3 σοκολατες" να λεει "απο 1 σοκολατα" για να ειναι σωστο το 3/4, η "απο το συνολο των σοκολατων" για να ειναι σωστο το 1/4.

αν πρεπει να δωσουμε οπωσδηποτε μια απαντηση στο κακοδιατυπωμενο προβλημα, που να καταληγει σε "απο τις 3 σοκολατες" τοτε η πιο κοντινη στην αληθεια ειναι 1/4

Σοβαρά τώρα;

Το ότι δεν μπορείς να χωρίσεις εσύ 3 σοκολάτες δεν σημαίνει πως δεν μπορούν και οι υπόλοιποι.

μπορει να φταιει που δεν επαληθευω με τον παρονομαστη.

[nik_killthemall]

η 3η πρόταση έπρεπε να λέει:
«Επειδή έχουμε τρεις (3) σοκολάτες, τελικά, το κάθε παιδί θα πάρει τρία όγδοα (3/8) σοκολάτας από τις τρεις σοκολάτες.»

Σωστό, η βελτιστη διατυπωση.

Μπα.
Κι αυτή η διατύπωση είναι εξίσου διφορούμενη.

Επειδή έχουμε τρεις (3) σοκολάτες, τελικά, το κάθε παιδί θα πάρει τα τρία όγδοα (3/8) σοκολάτας από τις τρεις σοκολάτες που είχαμε στην αρχή.

[stavmanr]

Κατά τα άλλα σύμφωνα με τον Ασέβαστο η σωστή απάντηση στο πρόβλημα είναι το 3/24.

κατα τον ασεβαστο δεν υπαρχει σωστη απαντηση στο προβλημα, γιατι ειναι λαθος η διατυπωση.

για να μπορει να υπαρξει σωστη απαντηση, θα επρεπε εκει που λεει "απο τις 3 σοκολατες" να λεει "απο 1 σοκολατα" για να ειναι σωστο το 3/4, η "απο το συνολο των σοκολατων" για να ειναι σωστο το 1/4.

αν πρεπει να δωσουμε οπωσδηποτε μια απαντηση στο κακοδιατυπωμενο προβλημα, που να καταληγει σε "απο τις 3 σοκολατες" τοτε η πιο κοντινη στην αληθεια ειναι 1/4

Σοβαρά τώρα;

Το ότι δεν μπορείς να χωρίσεις εσύ 3 σοκολάτες δεν σημαίνει πως δεν μπορούν και οι υπόλοιποι.

Ας το κάνουμε διαφορετικό το πρόβλημα, επειδή η σοκολάτα έχει διάφορες παρενέργειες στα Μαθηματικά.

Πηγαίνουμε 8 φορουμίτες σε μία ταβέρνα και παραγγέλνουμε 3 πιατέλες με 8 κοψίδια έκαστη. Τα μοιραζόμαστε εξίσου.
Πόσες πιατέλες έφαγε ο καθένας μας;

[enaon]

ενώ το "3/24 των 3 σοκολατων" αντιπαιδαγωγικό.

ωραία παντως που το λές αυτό, το είπε και ο εθερέαλ εχθές, οτι δεν πρέπει να εμφανίσουν το 24 να μην τα μπερδέψουν.

αν ηταν πείραμα, ειχαν 3 ψευτικες σοκολάτες, τις σπαγανε όγδοα και τα μοιράζανε, πως θα αποφευγαμε να δουνε το 24;

[Bill Hicks]

Δεν καταλαβαίνω. Εδώ θέλει να υπολογίσουν κάτι ή απλώς να δουν ότι το 30 είναι μεγαλύτερο του 20% ; Τα 150 και τα 100 γραμμάρια αντίστοιχα που κολλάνε;
Ζητάει απόλυτη ποσότητα ζάχαρης ανά μπισκότο;

το κοιταω 10 λεπτα τωρα, ξυνωντας την καραφλα μου με το δαχτυλο, και νομιζω οτι πρωτα θα φτασω το δαχτυλο στο κρανιο και μετα θα καταλαβω τι θελει να πει ο ποιητης.

Νομίζω ότι είναι σωστή η άσκηση, Ασέβαστος.
Ζητά από τους μαθητές να υπολογίσουν πόση ζάχαρη περιλαμβάνεται σε ένα μπισκότο της κάθε συσκευασίας και να συγκρίνουν τα αποτελέσματα.

εφόσον προσδιορίζεται ίδιο βάρος μπισκότου στις δύο συσεκυασίες δεν υπάρχει κάτι να υπολογίσεις για να απαντήσεις πιο μπισκότο έχει πρισσότερη ζάχαρη. η ερώτηση θα είχε νόημα αν προσδιόριζε κοινό αριθμό μπισκότων στις συσκευασίες.

[Puma]

το κοιταω 10 λεπτα τωρα, ξυνωντας την καραφλα μου με το δαχτυλο, και νομιζω οτι πρωτα θα φτασω το δαχτυλο στο κρανιο και μετα θα καταλαβω τι θελει να πει ο ποιητης.

[Bill Hicks]

Spoiler

Καλά τα έργα τέχνης αλλά τα μαθηματικά είναι πράξεις.

Απόδειξε μου, με πράξεις, ότι δεν κάνεις αυτό

1/8 +1/8 +1/8 = 3/24

Ούτε αυτό

1/4 + 1/4 +1/4 = 3/12

Και δεν θα ξαναπώ πως πρόσθεσες παρονομαστές.

τι εννοεις να σου το αποδειξω με πραξεις; δε γινεται, αφου ειναι λαθος.

τετοιες πραξεις δεν εκανα/εγραψα ποτε, γιατι δεν ειναι σωστες και δε βγαζουν νοημα.

αλλα αν θες, μπορω να κανω μια προσπαθεια.

1/8 του κιλου +1/8 του κιλου+1/8 του κιλου = 3/24 του τρικιλου.

1/4 του ευρω +1/4 του ευρω +1/4 του ευρω + 3/12 του τριευρου.

ειναι βεβαιως ανοητο να εχεις διαφορετικη μοναδα μετρησης δεξια και αριστερα του "=", για αυτο και δεν το εκανα ποτε. ειναι ομως ο μονος τροπος να καταληξει "σωστη" η πραξη.

σειρα σου. κανε μια προσπαθεια να μου εξηγησεις πως επαληθευεις μια πραξη με κλασματα, χρησιμοποιωντας μονο τον παρονομαστη.

ποια ακριβως είναι η διαφωνία ?

(1/8)*κιλο + (1/8)*κιλο+(1/8)*κιλο = (1/8)*(κιλο+κιλο+κιλο) = (1/8)*(3κιλο) = (3/24)*(3κιλο)

Το αριθμητικο κλασμα της διαιρεσης (1/8) του τρικιλου, σαν αριθμος δεν έχει καμια διαφορα από το κλάσμα που θα αποδωσει στη πράξη της μοιρασιάς ισα και ακεραια σε πληθος κομματια (3/24)*(3κιλο)

πώς φαίνεται ο μηχανικός.

[Bill Hicks]

Νίκο ηταν 3-4 ερωτήσεις που συζητούσαμε, αλλα δες αυτή που εφαγε τον πιο πολύ χρόνο αν θες και γράψε αν εχεις καποια παρατήρηση

Οκ υπαρχει ενα μικρο θεμα διατυπωσης, αντι για
"Επειδή έχουμε 3 σοκολάτες, τελικα το κάθε παιδί θα πάρει τα 3/8 από τις 3 σοκολάτες"
έπρεπε να γράφει
"Οπότε από τις 3 σοκολάτες που έχουμε εμείς το κάθε παιδί θα πάρει 3 τέτοια κομματια, δηλ. 3/8 της σοκολάτας".

επίσης στην 2η πρόταση, που τα χωρίζει σε 8 ίσα μέρη, έπρεπε να συμπληρώσει «δηλ. κάθε παιδί θα πάρει το 1/8 τών σοκολατών».

[Gherschaagk]

Οκ υπαρχει ενα μικρο θεμα διατυπωσης, αντι για
"Επειδή έχουμε 3 σοκολάτες, τελικα το κάθε παιδί θα πάρει τα 3/8 από τις 3 σοκολάτες"
έπρεπε να γράφει
"Οπότε από τις 3 σοκολάτες που έχουμε εμείς το κάθε παιδί θα πάρει 3 τέτοια κομματια, δηλ. 3/8 της σοκολάτας".

Το παιδί θα πάρει τα 3/8 από οποιαδήποτε σοκολάτα. Μπορεί το 1/8 να είναι από την πρώτη σοκολάτα, το δεύτερο 1/8 να είναι από την δεύτερη και το τρίτο 1/8 από την τρίτη ή μπορεί να πάρει τα 3/8 από μία σοκολάτα.

Ο πληθυντικός υπενθυμίζει πως είχαμε περισσότερες από μία σοκολάτες από την αρχή του προβλήματος. Κι επειδή δεν έγιναν ποτέ οι 3 σοκολάτες μια (ειδάλλως θα είχαμε 3/24 για κάθε παιδί), παραμένει ο πληθυντικός μέχρι τέλους.

Για αυτό δεν είναι λάθος η απάντηση. Ούτε υπάρχει θέμα με την διατύπωση.

Κατά τα άλλα σύμφωνα με τον Ασέβαστο η σωστή απάντηση στο πρόβλημα είναι το 3/24.

Όχι δεν είναι σωστό, γιατί δεν έχουμε μία σοκολάτα.
Τότε θα ήταν σωστό το 3/24.
Ας το δούμε όμως αυτή τη φορά και με την την αντίστροφη διαδικασία:
8 παιδιά επί 3/24 * 3σοκολάτες έχουμε 24/24 * 3 σοκολάτες, δηλαδή μία ακέραια μονάδα, άρα μία * 3 σοκολάτες = 3 σοκολάτες .
Τι έλεγε όμως η άσκηση ως υπόθεση; Ότι έχουμε τρεις σοκολάτες.
Άρα να το λάθος.
Η λύση 3/24 δεν οδηγεί στην σωστή υπόθεση, όπερ άτοπο.

Αυτό που κάνεις είναι αυθαίρετο σε ότι αφορά τα μαθηματικά. Στην καθημερινότητα είναι οκ, στα βιβλία δεν στέκει. Για αυτό είσαι λάθος.

Σε αυτό που γράφεις (και ο μαθηματικός αντίστοιχα) υπάρχει ένα λάθος που στον μαθηματικό είναι σίγουρα σκόπιμο. Στα "φυσικά" προβλήματα όλοι οι αριθμοί έχουν μονάδες, δεν είναι καθαροί αριθμοί εκτός κι αν είναι ποσοστά. Εκείνο το 3/24 λοιπόν που γράφει ο μαθηματικός έχει μονάδες δίπλα του που ο μαθηματικός τις προσπερνά.

Αν οι μονάδες που έχει δίπλα του ο 3/24 είναι η ποσότητα "1 σοκολάτα", τότε ο μαθηματικός και ο συλλογισμός που παραθέτει είναι σωστός. Δηλ. η απαντηση 3/24 της σοκολατας ειναι λάθος.

Αν όμως οι μονάδες που έχει δίπλα του ο 3/24 είναι η ποσότητα "3αδα σοκολατών" τότε ο μαθηματικός και ο συλλογισμός του είναι λάθος γιατί θα διορθωθεί με το κόκκινο που υποδεικνύω, και ο μαθηματικός είναι σίγουρο πως το γνωρίζει.

Το να αποφύγει η εκμαθηση διαιρεσης - κλασματων να εμπλεξει τις εκαστοτε μονάδες ειναι αναποφευκτο, γιατί αυτές είναι στη πραγματικότητα μέρος της διαίρεσης.

Παιδαγωγικώς το πιο ορθό θα ήταν απλά το "ο κάθε μαθητής θα πάρει τα 3/8 μιας σοκολάτας", το "3/8 των 3 σοκολατων" ειναι λαθος, ενώ το "3/24 των 3 σοκολατων" αντιπαιδαγωγικό.

Πσιδαγωγικώς, το παιδί μαθαίνει πως όπως μπορεί να χωρίσει ένα πράγμα σε πολλά ίσα μέρη, έτσι μπορεί να χωρίσει πολλά ίδια πράγματα αλλά διαφορετικά μεταξύ τους σε πολλά ίσα μέρη. Επίσης μαθαίνει πως είναι αυθαίρετο να φανταστεί πως αυτά τα πράγματα μπορεί να τα ενώσει με έναν μαγικό τρόπο και να τα κάνει ένα καινούριο πράγμα το οποίο θα χρησιμοποιήσει για να λύσει την άσκηση. Επίσης επειδή κάποια από τα παιδιά όπως θα μοιράζονται τα κομμάτια δεν θα πάρουν κομμάτια από μία σοκολάτα αλλά από 2, ο πληθυντικός διατηρείται γιατί ακόμη και στην εκφώνηση το ζητούμενο ήταν να χωρίσεις 3 σοκολάτες όχι μία. Όταν λες 3/8 της σοκολάτας αφήνεις να εννοηθεί πως είχες μια σοκολάτα την έκοψες σε 8 ίσα μέρη και πήρες τα 3. Μόνο που δεν ήταν μία.