Υπάρχει όριο των πρώτων αριθμών ;

[wooded glade]

Το διάστημα 1 έως 100 των πρώτων αριθμών περιέχει 25 πρώτους αριθμούς.
Είναι -μάλλον- η πολυπληθέστερη σε πρώτους εκατοντάδα συνεχομένων αριθμών.
Αλλά μήπως η συχνότητα των πρώτων αριθμών γενικά μειώνεται και ανά χιλιάδα, ανά δέκα χιλιάδες, ανά ... 10^ν ;
Μήπως υπάρχει κάποιο όριο ;
Ο μεγλύτερος που έχει βρεθεί είναι κάτι μεγκαγκουγκολπλέξ αλλά μήπως υπάρχει όριο ;

[Ζενίθεδρος]

Ο Αρχιμήδης έχει αποδείξει εδώ και 2000 χρόνια πως δεν υπάρχει όριο.

[wooded glade]

Ο Αρχιμήδης έχει αποδείξει εδώ και 2000 χρόνια πως δεν υπάρχει όριο.

Πως ;

[Ζενίθεδρος]

Ο Αρχιμήδης έχει αποδείξει εδώ και 2000 χρόνια πως δεν υπάρχει όριο.

Πως ;

Σημείωσε λάθος. Ο Ευκλείδης ήταν.

[wooded glade]

Ο Αρχιμήδης έχει αποδείξει εδώ και 2000 χρόνια πως δεν υπάρχει όριο.

Πως ;

Σημείωσε λάθος. Ο Ευκλείδης ήταν.

Πως ;

[foscilis]

Ο Αρχιμήδης έχει αποδείξει εδώ και 2000 χρόνια πως δεν υπάρχει όριο.

Πως ;

έστω ότι είναι πεπερασμένη η λίστα των πρώτων αριθμών (1,2,5, .... Ν).

Παίρνουμε το γινόμενο αυτών των αριθμών και προσθέτουμε 1. Προκύπτει αριθμός Μ.

Αν ο Μ δεν είναι πρώτος, σημαίνει υπάρχει κάποιος πρώτος παράγοντας που δεν ανήκει στη λίστα όλων των πρώτων αριθμών μεταξύ 1 και Ν.

Αν ο Μ είναι πρώτος, η λίστα δεν περιλαμβάνει όλους τους πρώτους αριθμούς (ο Μ είναι μεγαλύτερος από όλα τα μέλη της λίστας).

Και στις δύο περιπτώσεις η λίστα δεν περιλαμβάνει όλους τους πρώτους αριθμούς.

Συμπέρασμα είναι αδύνατο να φτιαχτεί λίστα πρώτων αριθμών που να τους περιλαμβάνει όλους, => είναι άπειροι.

[wooded glade]

Ο Αρχιμήδης έχει αποδείξει εδώ και 2000 χρόνια πως δεν υπάρχει όριο.

Πως ;

έστω ότι είναι πεπερασμένη η λίστα των πρώτων αριθμών (1,2,5, .... Ν).

Παίρνουμε το γινόμενο αυτών των αριθμών και προσθέτουμε 1. Προκύπτει αριθμός Μ.

Αν ο Μ δεν είναι πρώτος, σημαίνει υπάρχει κάποιος πρώτος παράγοντας που δεν ανήκει στη λίστα όλων των πρώτων αριθμών μεταξύ 1 και Ν.

Αν ο Μ είναι πρώτος, η λίστα δεν περιλαμβάνει όλους τους πρώτους αριθμούς (ο Μ είναι μεγαλύτερος από όλα τα μέλη της λίστας).

Και στις δύο περιπτώσεις η λίστα δεν περιλαμβάνει όλους τους πρώτους αριθμούς.

Συμπέρασμα είναι αδύνατο να φτιαχτεί λίστα πρώτων αριθμών που να τους περιλαμβάνει όλους, => είναι άπειροι.

Λάθος είναι αυτό.
Η λίστα είναι {Α1,Α2,Α3 .... Αν}.
Μετά Μ = 1 + α.β.γ. ... , όπου α,β,γ ... αριθμοί της λίστας
Αν Μ είναι πρώτος, εντάξει έληξε (είναι λάθος η λίστα, ελλειπής).
Αλλά αν Μ = p x q με p > Aν, δεν μου λέει ότι πάντα θα υπάρχει ο p.

[Ζενίθεδρος]

Πως ;

έστω ότι είναι πεπερασμένη η λίστα των πρώτων αριθμών (1,2,5, .... Ν).

Παίρνουμε το γινόμενο αυτών των αριθμών και προσθέτουμε 1. Προκύπτει αριθμός Μ.

Αν ο Μ δεν είναι πρώτος, σημαίνει υπάρχει κάποιος πρώτος παράγοντας που δεν ανήκει στη λίστα όλων των πρώτων αριθμών μεταξύ 1 και Ν.

Αν ο Μ είναι πρώτος, η λίστα δεν περιλαμβάνει όλους τους πρώτους αριθμούς (ο Μ είναι μεγαλύτερος από όλα τα μέλη της λίστας).

Και στις δύο περιπτώσεις η λίστα δεν περιλαμβάνει όλους τους πρώτους αριθμούς.

Συμπέρασμα είναι αδύνατο να φτιαχτεί λίστα πρώτων αριθμών που να τους περιλαμβάνει όλους, => είναι άπειροι.

Λάθος είναι αυτό.
Η λίστα είναι {Α1,Α2,Α3 .... Αν}.
Μετά Μ = 1 + α.β.γ. ... , όπου α,β,γ ... αριθμοί της λίστας
Αν Μ είναι πρώτος, εντάξει έληξε (είναι λάθος η λίστα, ελλειπής).
Αλλά αν Μ = p x q με p > Aν, δεν μου λέει ότι πάντα θα υπάρχει ο p.

Ο p είτε θα είναι στη λίστα, οπότε θα ειναι μικρότερος από τον Αν, είτε δεν θα ειναι και θα είναι ελλιπής η λίστα.

[Spiros252]

Παίρνουμε πεπερασμένο σύνολο όλων των πρώτων. Πολλαπλασιάζουμε όλους του συνόλου και προσθέτουμε 1.
Το νούμερο που βγαίνει ως αποτέλεσμα, δεν διαιρείται με κανέναν από το πεπερασμένο σύνολο των πρώτων, επειδή τότε πάντα θα είχαμε υπόλοιπο 1.
Άρα είτε ο αριθμός αυτός είναι πρώτος*, είτε διαιρείται από έναν άλλο πρώτο** που δεν υπάρχει μέσα σε αυτό το σύνολο.
Άρα έχουμε και άλλους πρώτους πέραν αυτούς του συνόλου.

* Δεν διαιρείται με κανέναν άλλο αριθμό, αφού όλοι οι μη πρώτοι αριθμοί είναι γινόμενο πρώτων.
** Θα είναι πρώτος επειδή αλλιώς θα διαιρούνταν το αποτέλεσμα και με κάποιον πρώτο του συνόλου.

[άγνωστος γνωστός]

Η εικασια λεει οτι οποιοσδηποτε Ζυγος μπορει να ειναι το αθροισμα δύο πρώτων. Οι ζυγοι ειναι άπειροι. Αρα...

[Δημοκράτης]

Πως ;

Σημείωσε λάθος. Ο Ευκλείδης ήταν.

Πως ;

Τους μέτρησε ολους

[nick]

Η εικασια λεει οτι οποιοσδηποτε Ζυγος μπορει να ειναι το αθροισμα δύο πρώτων. Οι ζυγοι ειναι άπειροι. Αρα...

Αρα τι;
Εντιτ .Οκ το καταλαβα

[stavmanr]

Σημείωσε λάθος. Ο Ευκλείδης ήταν.

Πως ;

Τους μέτρησε ολους

Ο παλιός καλός Αρκάς πριν γίνει ...αρακάς.

[Δημοκράτης]

Εξαιρετικός παραμένει ο Αρκάς. Μόνο οι ζαιοι έχουν πρόβλημα μαζί του

[parafrwn]

Re: Υπάρχει όριο των πρώτων αριθμών ;

Όχι.