Phorum.com.gr

Ευχαριστώ πολύ για το χρόνο σου Φινγκοφλιν.

Είμαι σε παλιό κινητό (Bb classic) και έχει ένα θέμα με τον πλήρη επεξεργαστή δεν πιάνουν οι παραθέσεις σχολίων .
Ζητώ συγγνώμη από όλους στο νήμα για αυτό το θέμα.

Το έδωσα σε έναν μαθηματικό και έναν φυσικό στη δουλειά μου. Μου είπαν ότι έχει πολύ ενδιαφέρον σαν εικασια. Θα το δουλέψουν και εκείνοι.
Έχω καταλάβει περίπου το γιατί συμβαίνει με τις παρατηρήσεις σας εσείς έχετε καταλάβει περισσότερα - μένει να αποδείξει κάποιος ότι ισχύει γενικά.

Εγώ λόγω επαγγέλματος μπορώ να κάνω ένα πρόγραμμα που να βρίσκει όλους τους μερισμους ενός συνόλου και να βγάζει την πράξη d για καθεναν από αυτούς.

Όπως είπε και ο φυσικός ισχύει και για το 200 300 κτλ 4000 5000 απλά πράξη d δίνει ανάλογο αποτέλεσμα.
Μόλις τώρα είδα ότι ισχύει και στην περίπτωση
945+55 = 1000 δηλαδή δεν χρειάζεται ο αρχικός να έχει άρτιο πλήθος ψηφίων.

Τίποτα, ίσα-ίσα μου άρεσε πολύ το πρόβλημα.

Είσαι ωραίος Φιν. Πολύ καλό πρόβλημα Wirt. Ελπίζω το πόδι σου να πάει καλύτερα στο μέλλον. Εντωμεταξύ κάτσε λίγο εδώ και άκουσε.

Ένα ωραίο τελευταίο. Δυσκολούτσικο.

Βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους α, β, έτσι ώστε ο α⁴ + 4 * β⁴ να είναι πρώτος αριθμός.

Λοιπόν, η λύση για όσους το προσπάθησαν.

Spoiler

Έχουμε ότι α⁴ + 4 * β⁴ = (α² - 2 * α * β + 2 * β²) * (α² + 2 * α * β + 2 * β²). Για να είναι αυτό το γινόμενο πρώτος πρέπει ο ένας όρος να είναι 1 αν ο άλλος είναι θετικός ή -1 αν ο άλλος όρος είναι αρνητικός. Βλέπουμε ότι ο δεύτερος όρος είναι θετικός για κάθε α, β θετικούς ακεραίους. Αυτό σημαίνει πως και ο πρώτος όρος είναι θετικός και μάλιστα ίσος με 1 γιατί ο α² + 2 * α * β + 2 * β² είναι μεγαλύτερος ή ίσος του 5 για κάθε α, β θετικούς ακέραιους.

Ψάχνουμε λοιπόν α, β θετικούς ακέραιους τέτοιους ώστε α² - 2 * α * β + 2 * β² = 1 (α).

Έχουμε (α - β)² >= 0 => α² - 2 * α * β + β² >= 0 => α² - 2 * α * β + 2 * β² >= β² (β). Από (α) και (β) προκύπτει ότι 1 >= β και αφού β θετικός ακέραιος, β = 1.

Η (α) λοιπόν γίνεται α² - 2 * α + 1 = 0, που είναι μια απλή δευτεροβάθμια μηδενικής διακρίνουσας και δίνει λύση α = 1.

Άρα το μοναδικό ικανό ζευγάρι (α, β) θετικών ακεραίων είναι το (1, 1) το οποίο και επαληθεύει την εξίσωση. Αν κάποιος ενδιαφέρεται περισσότερο, πρόκειται για την ταυτότητα Σοφί Ζερμέν (Sophie Germain identity).

Παραλίγο να το αποδειξω ευκολοτερα
Το τελευταιο ψηφιο του α⁴ ειναι 0,1,5,ή 6 ενω του 4b⁴ ειναι 0 ή 4.
εχουμε
0+0 -->ζυγός
0+4 -->ζυγός
1+0 -->???
1+4 -->είναι 5 ή διαιρείται απο το 5
5+0 -->είναι 5 ή διαιρείται απο το 5
5+4 -->???
6+0 -->ζυγός
6+4 -->ζυγός

Eχουμε 10 άτομα με αριθμούς 1,2..10 και 10 καπέλα με αριθμούς 1,2..10
Με πόσος τρόπους μπορούν να τα φορέσουν ώστε κανένας να μην έχει τον ίδιο αριθμό με το καπέλο του.

έστω οτι θέλουμε να μεταφέρουμε ένα πλανήτη σε ένα άλλο ηλιακό σύστημα κλπ, το σχέδιο είναι απλό, θα πάμε με το διαστημόπλοιο, θα τον δέσουμε με ένα σχοινί και θα τον τραβήξουμε. Μας έχουν υπολογίσει την περιφέρεια του πλανήτη στα 33,564 χιλιόμετρα, οπότε έχουμε την καλούμπα έτοιμη και τον τυλίγουμε, όταν καταλαβαίνουμε οτι έχει μερικά βραχάκια και πλέον θέλουμε να δώσουμε αρκετό μπόσικο ώστε να τυλίξουμε τον πλανήτη αλλά το σχοινί να είναι ένα μέτρο πάνω από την επιφάνειά του.

Πόσο σχοινί παραπάνω από τα 33,564 θέλουμε;

2π *1 μέτρα

nick έγραψε: 19 Ιούλ 2018, 17:52 Eχουμε 10 άτομα με αριθμούς 1,2..10 και 10 καπέλα με αριθμούς 1,2..10
Με πόσος τρόπους μπορούν να τα φορέσουν ώστε κανένας να μην έχει τον ίδιο αριθμό με το καπέλο του.

9 στην 10η;

άσχετο : γιατί ο Φινγκόλφιν την έκανε ? (τώρα το πήρα χαμπαρι)

Και για να είμαι και οντοπικ :

1) Πως μπορεί να μετατραπεί μόνο με κανόνα (μη βαθμονομημένος χάρακας) ένα τυχαίο 6γωνο (ν-γωνο) σε ισεμβαδικό τρίγωνο ?

2) Σε ένα σκοτεινό δωμάτιο βρίσκονται 100 αιχμάλωτοι. Ο δήμιος τους υποβάλλει στην εξής δοκιμασία ώστε αν την περάσουν να σωθούν : μέσα στο στοτεινό δωμάτιο υπάρχει ένα μπαούλο το οποίο έχει 50 λευκούς και 50 μαύρους σκούφους. Κάθε ένας από τους αιχμαλώτους ανοίγει το μπαούλο παίρνει τυχαία έναν σκούφο το χρώμα του οποίου δεν βλέπει κλείνει το μπαούλο και βγαίνει έξω απ'το σκοτεινό δωμάτιο. Μεταξύ τους οι αιχμάλωτοι απαγορεύεται να έχουν κάθε είδους επικοινωνία γιατί αν υπάρξει θα εκτελεστούν απτον δήμιο. Ο δήμιος λοιπόν τους λέει πως αν χωρίς να έχουν καμιά επικοινωνία καταφέρουν να παραταχτούν σε σειρά μεταξύ τους ώστε 50 λευκοί σκούφοι να είναι στο μισό της σειράς και 50 μαύροι σκούφοι στο άλλο μισό τότε θα τους αφήσει ελεύθερους. Πως πρέπει να σκεφτούν οι αιχμάλωτοι για να παραταχτούν σε σειρά ?

3) Ένα ποτήρι είναι γεμάτο με νερό και μέσα σε αυτό ισορροπεί ένα κομμάτι πάγου το οποίο έχει ένα μέρος του πάνω από τη στάθμη του νερού. Μετά από χ χρόνο ο πάγος λιώνει και γίνεται νερό. Η στάθμη του νερού ανέβηκε ναι ή όχι και γιατί ?

εντιτ έχει ήδη ειπωθεί : Πως με δύο απολύτως όμοια αλλά ανομοιόμορφα κατά μήκος τους φυτήλια που καίγονται σε 60 min το καθένα και έναν αναπτήρα μπορούμε να χρονομετρήσουμε ακριβώς 45 min ?

nick έγραψε: 21 Ιούλ 2018, 00:10 viewtopic.php?f=33&t=1721&start=585#p91947

Γιατί την ώρα που ανάβουμε την τελευταία άκρη μένουν 45 λεπτά να καεί το σχοινί; Μόνο 15 περάσανε για να φτάσει το κάψιμο εκεί που έφρασε; Στο ίδιο σημείο έχει φτάσει και η αντίστοιχη άκρη στο πρώτο σχοινί νομίζω. Αλλά πέρασε μισή ώρα όχι 15 λεπτά.

Χαοτικός έγραψε: 21 Ιούλ 2018, 00:58

nick έγραψε: 21 Ιούλ 2018, 00:10 viewtopic.php?f=33&t=1721&start=585#p91947

Γιατί την ώρα που ανάβουμε την τελευταία άκρη μένουν 45 λεπτά να καεί το σχοινί; Μόνο 15 περάσανε για να φτάσει το κάψιμο εκεί που έφρασε; Στο ίδιο σημείο έχει φτάσει και η αντίστοιχη άκρη στο πρώτο σχοινί νομίζω. Αλλά πέρασε μισή ώρα όχι 15 λεπτά.

Ανάβοντας το πρώτο σκοινί από τις 2 άκρες θα καεί στον μισό χρόνο άρα σε μισή ώρα. Στον ίδιο χρόνο το δεύτερο σκοινί μόνο από μια μεριά έχει καεί φυσικά επίσης μισή ώρα και μένει να καεί άλλο τόσο. Εφόσον τώρα του ανάβεις και την δεύτερη άκρη θα καεί στον μισό χρόνο της μισής ώρας δηλαδή άλλα 15΄που θέλεις για να συμπληρώσεις 45΄