Phorum.com.gr

nick έγραψε: 06 Ιουν 2018, 15:37 Αν όλες οι 10 τριάδες είναι <=16 τότε το σύνολο είναι <=160.
1+2+3+4+... +100=55
κάθε αριθμός έχει προστεθεί 3 φορές
55*3=165
Πρεπει τουλάχιστον μια τριαδα να είναι >16.

Πιστευω ότι το κατώτατο όριο μπορεί να πάει πάνω από 18,19,20

Σωστή η λύση με άτοπο (αν και θα την προτιμούσα λιγο πιο αναλυτική, υπονοείται πως παίρνεις το άθροισμα όλων των τριάδων). Το μόνο λάθος είναι πως στο άθροισμα των ακεραίων ο μεγαλύτερος όρος είναι 10, όχι 100. 'Ντάξει, απροσεξία, το 55 είναι σωστό με το 10.

Σίγουρα όχι πάνω από 20: (1, 8, 7, 4, 2, 10, 5, 3, 9, 6)

Α, βρήκα και με μέγιστο άθροισμα τριάδας το 18:

(1, 5, 9, 4, 3, 8, 7, 2, 6, 10)
.

Άλλο ένα με αθροισματάκια. Βρείτε τύπο για το άθροισμα

1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/[ν*(ν+1)]
.

Θα δώσω μια μικρή βοήθεια. Δοκιμάστε τι αποτέλεσμα δίνει το άθροισμα για μικρές τιμές του ν και μετά προσπαθήστε να αποδείξετε πως αυτό το αποτέλεσμα ισχύει για κάθε ν θετικό ακέραιο.

S = Σ(1/[ν*(ν+1)])=Σ[1/n - 1/(n+1) ]= Σ(1/n) - Σ(1/(n+1)) =1-1/(n+1) = n/(n+1)

Όρια σειρών, ε; Σωστό είναι πάντως.

Δεν ξέρω πώς το εννοείς. Αυτο που σκέφτηκα ειναι ότι αν παρεις την Σ(1/n) θα εχεις 1 + 1/2 + 1/3 + ...ενω αν παρεις την Σ(1/(n+1)) θα έχεις 1/2 + 1/3 + .... κοκ οποτε με την αφαιρεση βγαινει αυτο το παραπανω. Για ορια σειρων δεν το σκεφτηκα.

Εντωμεταξύ, τώρα που το κοιτάω καλύτερα, η σειρά είναι αποκλείνουσα.

Κάτσε, πώς βγαίνει με την αφαίρεση το παραπάνω; Είναι λίγο κάπως να το γράψεις αυτό:

1 + 1/2 + 1/3 + ...
-
(1/2 + 1/3 + ...)
.

γιατί; οι πρωτοι και οι τελευταιοι οροι δεν ταυτιζονται αλλα οι αλλοι ειναι ιδιοι

Γιατί οι αλγεβρικοί κανόνες δεν λειτουργούν μονοσήμαντα σε άπειρα αθροίσματα. Με διαφορετικούς χειρισμούς μπορεί να έχεις διαφορετικό αποτέλεσμα. Χρειάζεται ανάλυση.

Και πάλι όμως δεν βλέπω πως από εδώ

1 + 1/2 + 1/3 + ...
-
(1/2 + 1/3 + ...)

πας εδώ

1-1/(n+1)
.

μα δεν ειναι απειρο αθροισμα, παει ως το ν.

1 + 1/2 + 1/3 + ....+1/ν (Α)

1/2 + 1/3 + ...+1/(ν+1) (β)

Α-Β

1 - 1/(1+ν) = ν/(ν+1)

Οπως ξέρουμε η σειρα 1+1/2+1/3+... +1/Ν δεν συγκλίνει (δλδ παει στο απειρο)

Βρείτε το ελάχιστο Ν για το οποιο η σειρα ξεπερναει το 100. (Βασικα βρειτε ποσα ψηφια εχει το Ν διοτι ειναι πολυ μεγαλος)
1+1/2+1/3+... +1/Ν>100

Yochanan έγραψε: 07 Ιουν 2018, 23:54 μα δεν ειναι απειρο αθροισμα, παει ως το ν.

1 + 1/2 + 1/3 + ....+1/ν (Α)

1/2 + 1/3 + ...+1/(ν+1) (β)

Α-Β

1 - 1/(1+ν) = ν/(ν+1)

Καλά, δεν πρέπει με τέτοιο κεφάλι να κάθομαι να λύνω μαθηματικά. Εϊδα τα Σ στην απάντησή σου και ξέχασα τι είχα βάλει ως άσκηση.

Mea culpa!

Φινγκόλφιν έγραψε: 06 Ιουν 2018, 18:30 Άλλο ένα με αθροισματάκια. Βρείτε τύπο για το άθροισμα

1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/[ν*(ν+1)]
.

ωραία η λύση του γιοκ, απλή και σύντομη.

Μια δεύτερη προσέγγιση είναι να ορίσουμε σ(ν) το άθροισμα και να παρατήρησουμε πως
σ(1)=1/2 ή 2σ(1)=1
σ(2)=1/2+1/6 ή 3σ(2)=2 ή 3σ(2)/2=1,
άρα για τη γενική περίπτωση
(ν+1)σ(ν)b/ν=1 ή σ(ν)=ν/(ν+1)


Εκ μέρους του λαού ζητώ και άλλα αθροισματάκια