Μαθηματικοί Γρίφοι

[Φινγκόλφιν]

Αν όλες οι 10 τριάδες είναι <=16 τότε το σύνολο είναι <=160.
1+2+3+4+... +100=55
κάθε αριθμός έχει προστεθεί 3 φορές
55*3=165
Πρεπει τουλάχιστον μια τριαδα να είναι >16.

Πιστευω ότι το κατώτατο όριο μπορεί να πάει πάνω από 18,19,20

Σωστή η λύση με άτοπο (αν και θα την προτιμούσα λιγο πιο αναλυτική, υπονοείται πως παίρνεις το άθροισμα όλων των τριάδων). Το μόνο λάθος είναι πως στο άθροισμα των ακεραίων ο μεγαλύτερος όρος είναι 10, όχι 100. 'Ντάξει, απροσεξία, το 55 είναι σωστό με το 10.

Σίγουρα όχι πάνω από 20: (1, 8, 7, 4, 2, 10, 5, 3, 9, 6)

[Φινγκόλφιν]

Α, βρήκα και με μέγιστο άθροισμα τριάδας το 18:

(1, 5, 9, 4, 3, 8, 7, 2, 6, 10)
.

[Φινγκόλφιν]

Άλλο ένα με αθροισματάκια. Βρείτε τύπο για το άθροισμα

1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/[ν*(ν+1)]
.

[Φινγκόλφιν]

Θα δώσω μια μικρή βοήθεια. Δοκιμάστε τι αποτέλεσμα δίνει το άθροισμα για μικρές τιμές του ν και μετά προσπαθήστε να αποδείξετε πως αυτό το αποτέλεσμα ισχύει για κάθε ν θετικό ακέραιο.

[Yochanan]

S = Σ(1/[ν*(ν+1)])=Σ[1/n - 1/(n+1) ]= Σ(1/n) - Σ(1/(n+1)) =1-1/(n+1) = n/(n+1)

[Φινγκόλφιν]

Όρια σειρών, ε; Σωστό είναι πάντως.

[Yochanan]

Δεν ξέρω πώς το εννοείς. Αυτο που σκέφτηκα ειναι ότι αν παρεις την Σ(1/n) θα εχεις 1 + 1/2 + 1/3 + ...ενω αν παρεις την Σ(1/(n+1)) θα έχεις 1/2 + 1/3 + .... κοκ οποτε με την αφαιρεση βγαινει αυτο το παραπανω. Για ορια σειρων δεν το σκεφτηκα.

[Φινγκόλφιν]

Εντωμεταξύ, τώρα που το κοιτάω καλύτερα, η σειρά είναι αποκλείνουσα.

Κάτσε, πώς βγαίνει με την αφαίρεση το παραπάνω; Είναι λίγο κάπως να το γράψεις αυτό:

1 + 1/2 + 1/3 + ...
-
(1/2 + 1/3 + ...)
.

[Yochanan]

γιατί; οι πρωτοι και οι τελευταιοι οροι δεν ταυτιζονται αλλα οι αλλοι ειναι ιδιοι

[Φινγκόλφιν]

Γιατί οι αλγεβρικοί κανόνες δεν λειτουργούν μονοσήμαντα σε άπειρα αθροίσματα. Με διαφορετικούς χειρισμούς μπορεί να έχεις διαφορετικό αποτέλεσμα. Χρειάζεται ανάλυση.

Και πάλι όμως δεν βλέπω πως από εδώ

1 + 1/2 + 1/3 + ...
-
(1/2 + 1/3 + ...)

πας εδώ

1-1/(n+1)
.

[Yochanan]

μα δεν ειναι απειρο αθροισμα, παει ως το ν.

1 + 1/2 + 1/3 + ....+1/ν (Α)

1/2 + 1/3 + ...+1/(ν+1) (β)

Α-Β

1 - 1/(1+ν) = ν/(ν+1)

[nick]

Οπως ξέρουμε η σειρα 1+1/2+1/3+... +1/Ν δεν συγκλίνει (δλδ παει στο απειρο)

Βρείτε το ελάχιστο Ν για το οποιο η σειρα ξεπερναει το 100. (Βασικα βρειτε ποσα ψηφια εχει το Ν διοτι ειναι πολυ μεγαλος)
1+1/2+1/3+... +1/Ν>100

[Φινγκόλφιν]

μα δεν ειναι απειρο αθροισμα, παει ως το ν.

1 + 1/2 + 1/3 + ....+1/ν (Α)

1/2 + 1/3 + ...+1/(ν+1) (β)

Α-Β

1 - 1/(1+ν) = ν/(ν+1)

Καλά, δεν πρέπει με τέτοιο κεφάλι να κάθομαι να λύνω μαθηματικά. Εϊδα τα Σ στην απάντησή σου και ξέχασα τι είχα βάλει ως άσκηση.

Mea culpa!

[Yochanan]

[Χουργιατς]

Άλλο ένα με αθροισματάκια. Βρείτε τύπο για το άθροισμα

1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/[ν*(ν+1)]
.

ωραία η λύση του γιοκ, απλή και σύντομη.

Μια δεύτερη προσέγγιση είναι να ορίσουμε σ(ν) το άθροισμα και να παρατήρησουμε πως
σ(1)=1/2 ή 2σ(1)=1
σ(2)=1/2+1/6 ή 3σ(2)=2 ή 3σ(2)/2=1,
άρα για τη γενική περίπτωση
(ν+1)σ(ν)b/ν=1 ή σ(ν)=ν/(ν+1)


Εκ μέρους του λαού ζητώ και άλλα αθροισματάκια